(1777)[转帖]贾朝华:从哥德巴赫说开去（1）

很多中国人是从徐迟的一篇报告文学中知道哥德巴赫这个名字的。在这篇文章里，徐迟讲述了数学家陈景润刻苦钻研，终于在哥德巴赫猜想研究上取得重大突破的真实故事。文章最初刊登在《人民文学》杂志 1978 年第 1 期上，标题就是“哥德巴赫猜想”，《人民日报》和《光明日报》随即转载，一时间传遍全国。

从那以后，人们对于陈景润的故事津津乐道，也常用“哥德巴赫猜想”来形容极其困难的问题或难以企及的目标。然而，大家对于哥德巴赫本人却了解甚少。本文我们就来说说哥德巴赫和他那个时代的一些事情。

小城故事
哥德巴赫（Christian Goldbach），1690 年 3 月 18 日出生于普鲁士的哥尼斯堡，生长在一个官员家庭。

普鲁士是德意志的一个邦国。当时的德意志虽然称为“德意志神圣罗马帝国”，但诸侯争霸，邦国林立，皇帝的控制力有限。而且皇帝不是世袭的，是由一些诸侯选举出德意志国王，经罗马教皇加冕后才成为皇帝，那些有资格选举国王的 诸侯称为“选帝侯”。

勃兰登堡选帝侯兼普鲁士公爵腓特烈三世因积极支持皇帝 对法国宣战，被授予普鲁士国王称号。1701 年，他在哥尼斯堡加冕为王，开启了普鲁士王国的基业。此后，普鲁士迅 速崛起，通过战争和政治手段，终于在 1871 年，由国王威廉一世和“铁血宰相”俾斯麦完成了德意志的统一。

哥尼斯堡（Konigsberg）是一座历史名城，德国的很多重要历史事件在这里发生。第二次世界大战德国战败后，根据“波茨坦协定”，哥尼斯堡划归苏联，改名为加里宁格勒。加里宁去世前是苏联名义上的国家首脑，也是一位教育家，他曾说过：“很多教师常常忘记他们应该是教育家，而教育家也就是人类灵魂的工程师”，后来人们就经常说“教师是人类灵魂的工程师”。

在秀丽的小城哥尼斯堡，普雷格尔河贯穿全城，给城市带来了灵气。这条河有两条支流，它们环绕着一个小岛，在这两条支流上有七座桥，见下图。城里的居民常到这里散步，久而久之，人们就有了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次走遍这七座桥？这就是有名的“哥尼斯堡七桥问题”。
在俄国圣彼得堡的大数学家欧拉知道这个问题之后，就进行了研究。他将陆地和小岛用点表示，而将七座桥用线表示，得到了一个用七条线组成的图形，见上图。于是，七桥问题 就变成了能否一笔画出这个图形的问题。1736 年，欧拉用严格的数学方法证明了这种画法是不存在的，就是说不可能 既不重复又不遗漏地一次走遍这七座桥。对于类似的更一般的图形，欧拉也找到了一个简便的原则，可以判定它能否一笔画出，这就是“一笔画定理”。欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的研究，推动了一个重要的数学分支的产生，这个分支叫做拓扑学。

哥德巴赫在家乡的哥尼斯堡大学学习数学和医学。因为数学这种理论学科，工作机会相对少，所以要学一门像医学这样的实用学科。当时的一些数学家，如约翰 ? 伯努利和丹尼尔 ? 伯努利都获得过医学博士学位，这有点像今天有些人同时学习数学和计算机科学一样。

哥德巴赫20岁大学毕业，和大多数这个年龄的青年人一样， 渴望出去看看外面的世界。加上家庭状况不错，于是，1710 年之后，哥德巴赫就云游欧洲，结识了不少当时欧洲的数学名家。

外面的世界
哥德巴赫首先去莱比锡，拜访了大数学家莱布尼茨。当时莱比锡在萨克森选帝侯腓特烈 ? 奥古斯特一世的治下，不属于普鲁士王国，因此，从哥尼斯堡到莱比锡就算是出国了。

莱布尼茨（G. W. Leibniz，1646-1716）对于数学的最大贡献是发明了微积分，微积分在自然科学、社会科学和日常生活中都有广泛的应用，它的发明也给数学的发展带来了繁荣的局面，意义之大无法估量。由于莱布尼茨与牛顿对于微积分发明的优先权问题，导致了欧洲大陆数学家与英国数学家一 个多世纪的争论，最终人们公认，莱布尼茨与牛顿相互独立地发明了微积分。
莱布尼茨还发明了二进位制，就是用 0 和 1 来表出所有的正 整数，这和我们平常用的十进位制不同。电子计算机都是用二进位制的，这是因为电流的状态只有两种——断电和通电，它们分别对应于 0 和 1。莱布尼茨对于中国北宋时期邵雍的“伏羲六十四卦图”很感兴趣，他用二进位制合理地解释了“六十四卦图”。此后，在世界范围内兴起了对于易学的研究，人们对于中国的这门古老学问兴趣日增。邵雍是我国北宋时期的哲学家，一代易学大师，他对于天地运化、阴阳消长有着独到的见解。虽然现在很少有人知道邵雍了，但他说过的“一年之计在于春，一天之计在于晨，一生之计在于勤”成了很多人的座右铭。

作为一位哲学家，莱布尼茨在哲学史上享有崇高的地位，他 的科学思想与哲学思想往往是相互联系和促进的。莱布尼茨开创了德国的自然哲学，他的学说和其弟子沃尔夫的理论相结合，形成了莱布尼茨 - 沃尔夫理论体系，极大地影响了德国哲学的发展，尤其是影响了康德、黑格尔等人的哲学思想。

此外，莱布尼茨在数理逻辑、物理、化学、光学、地质学和生物学等诸多方面都有杰出贡献，无疑是他那个时代最为博学的人。英国哲学家、数学家和逻辑学家罗素在他的《西方哲学史》一书中，称莱布尼茨是“一个千古绝伦的大智者”。

在现实生活中，莱布尼茨是积极入世的。他大力推动柏林科学院的建立，并于 1700 年出任首任院长。1711 年至 1716 年期间，俄国的彼得大帝几次听取莱布尼茨关于建立科学院的建议，并授予他带薪的数学和科学宫廷顾问头衔。据说莱布尼茨还写信给中国清朝的康熙皇帝，建议成立北京科学 院，可惜未被采纳。

莱布尼茨晚年主要效力于汉诺威王室，然而新上台的选帝 侯乔治 ? 路德维希对他不太感兴趣，使得莱布尼茨感到政治上有些失意。另外，莱布尼茨终生未婚，不教书，也从不进教堂，行为举止和当时上流社会的规范不太合拍，因而门庭有些冷落。

哥德巴赫的到来，使莱布尼茨感到很高兴，对于这位朝气蓬 勃的晚辈，莱布尼茨少不了给予指点和教诲。莱布尼茨广博的学识和高屋建瓴的观点，也使哥德巴赫终身受益。

接着， 哥德巴赫又到伦敦访问棣莫弗。 棣莫弗（De Moivre，1667-1754）是法国人，因躲避宗教迫害移居英国，以后就一直生活在英国。

棣莫弗最擅长的研究领域是概率论，并对此做出了很大的贡献。牛顿对棣莫弗的著作《机会的学说》很欣赏，当学生向他请教概率论问题时，牛顿常常介绍他们去找棣莫弗，他认为棣莫弗在这方面比他强得多。

概率论是研究偶然性（或者随 机现象）的数学分支，它的起源与掷骰子赌博的输赢问题有 关。16 世纪意大利文艺复兴时期的学者卡尔达诺对此就有 研究，并著有《论赌博游戏》 一书。17 世纪中叶，法国宫廷贵族中盛行掷骰子游戏，他们常就一些输赢概率的问题请 教数学家帕斯卡尔。帕斯卡尔在与费尔马的通信里，常常讨论这类问题。当时旅居巴黎的荷兰数学家惠更斯，知道这些问题后也很感兴趣，还为此写 了专著。后人认为，帕斯卡尔、费尔马和惠更斯是概率论的创始人。
第一个对概率论做出重大理论贡献的是雅各布 ? 伯努利，他证明了“大数定律”，棣莫弗将它精细化为“中心极限定理”。这类定理的大致意思是说：如果只做一次试验，某种现象的出现会是偶然的；但如果是做大量重复试验的话，那么这种现象出现的次数在总试验次数中所占的比例相当稳定，呈现出一种必然性。正如棣莫弗在《机会的学说》一书中所指出的那样：尽管机会具有不规则性，但由于机 会无限多，随着时间的推移，不规则性与秩序相比将显得 微不足道。

棣莫弗积极推动概率论在社会科学中的应用，他还参与研究 保险业中的实际问题并写有专著，为保险业合理处理有关问题提供了依据，书中的一些内容被后人奉为经典。

复数理论中有棣莫弗定理，它的表述是这样的：

(cosθ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ ,

√i其中 i = ?1 ，n 是正整数。这个定理的一般形式和完整证明，后来由欧拉给出。我们取 n = 2 , 得到

cos2θ ? sin2θ + 2sin θ cosθ = cos 2θ + i sin 2θ ,

比较等式两边的实数部分和虚数部分，可得

cos 2θ = cos2θ ? sin2θ , sin 2θ = 2 sin θ cosθ

这是三角学中关于余弦函数和正弦函数的倍角公式。如果取

n = 3, 4, L ，可以得到更复杂的倍角公式。有了棣莫弗公式，只要通过简单的推导，我们就可以得到这些倍角公式，而不 必去死记硬背它们。

在那个时代，数学的分科远没有现在这样细，数学家的兴趣和知识面都比较广泛。哥德巴赫对于理论研究和实际问题都很有兴趣，据记载，他还和炮兵司令一起研究过弹道学的问题，因而，哥德巴赫会和棣莫弗谈得来。

后来，哥德巴赫去了欧洲其它一些城市，分别见到伯努利 家族的几位成员，其中丹尼尔 ? 伯努利和哥德巴赫关系密切，他们之间有比较频繁的通信，一直持续到了 1730 年。

16 世纪末，伯努利家族的祖辈为躲避宗教迫害，从比利时 的安特卫普辗转来到瑞士的巴塞尔，在那里繁衍生息。这个家族以经商为传统，也有个别人行医，似乎都和数学沾不上边。但在一个世纪之后，却在三代人中出现了八位数学家，其中几位有相当大的成就。提起伯努利家族，人们在谈论他 们的数学的同时，还会讨论关于天才与遗传之类的话题，这些话题往往比数学更吸引人。

上面说到的雅各布 ? 伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705）是这个家族的第一位数学家，他除了在概率论上做出重大贡献外，还在解析几何、无穷级数、微分方程和变分法等诸多 方面均有杰出的工作，数论里重要的“伯努利数”和“伯努利多项式”是他的创造。解析几何中的“伯努利双纽线”是雅各布提出来的，但他更钟爱对数螺线，这种曲线经过多种几何变换，依旧还是它本身，性质非常奇妙。在雅各布的墓碑上，就刻有对数螺线，并有这样的铭文——“纵然变化，依旧故我”，这也许寓意着来世还当数学家。

因为雅各布去世较早，所以哥德巴赫没有机会向他请教。但雅各布还有两个弟弟，尼古拉 ? 伯努 利一世（Nicolaus Bernoulli I ，1662-1716）和约翰 ? 伯努利（Johann Bernoulli ，1667-1748），也都是出色的数学家，其中约翰比雅各布的研究范围更广泛且更加多产。

约翰不仅在数学上作了大量的工作，他还解释了力学中的虚位移原理，写了关于潮汐和航行以及 行星轨道的数学原理的文章，提出了光学中的焦散面理论等。他的最流行的成果，当属大学微积 分教程里总要讲到的“洛必塔法则”。当时，约翰的学生洛必塔编写了一本有影响的书《无穷小分析》，把约翰的这个结果收了进去，后世就误称为“洛必塔法则”。这里面还有一段故事，在《数学文化》创刊号中，万精油先生在“数学史上的 一桩错案”一文里有详细的讲述，说起来都是银子惹的祸。

约翰有三个儿子，都是优秀的数学家，其中丹尼尔 ?伯努利（Daniel Bernoulli ，1700-1782）被认为是伯努利家族中最杰出的。此外，约翰还培养出了一位非凡的学生欧拉，这是很值得他骄傲的。
丹尼尔从小受到家庭的熏陶，在研究风格上继承了约翰的传 统。他一生著述丰富，还因天文学、地球引力、潮汐、磁学、船舶航行的稳定性以及振动理论等多方面的研究成果，先后十多次获得巴黎科学院的奖赏，他的获奖次数可以和欧拉相比，因而具有了广泛的知名度。

据记载，丹尼尔聪慧过人，富有想象力。现存画像上的丹尼尔，明目慧瞳，俊朗飘逸，一表人才。丹尼尔曾被人误认为是个公子哥儿，因而流传下来了一段故事。究其原因，大概是在公众的眼里，大学者都得像老树般的苍劲。

伯努利家族后面的成员在数学上不那么突出，这会让人以为这个家族的基因有所衰退。其实不然，有人根据家系查询过， 这个家族后来至少有 120 多位成员，在神学、法学、医学、文学、艺术、管理和科学的其它门类中取得了成功，有的还卓有成就，伯努利家族的香火相当旺盛。

欧洲的旅行，使哥德巴赫不断开阔眼界，增长学识，还在学术圈里交了不少朋友，收获颇丰。当然，他难免有一点思乡，想念故乡的亲人朋友和美景美食。

说起德国料理，我们能想到的无非是香肠和马铃薯（俗称土豆）之类，可称道的不多。但有一样东西还是值得推荐的，就是德国咸猪手。先将猪的前蹄用百里香、月桂叶、胡椒 粉和精盐腌制，再用笼屉去蒸，然后经过炉火的长时间烘烤，出炉后的咸猪手，表皮金黄诱人、酥香可口，里面色 泽枣红、清香弹牙。佐以德国特有的甘蓝泡菜，酸度适中，甜爽去腻。配酒最好是全麦啤酒，口味醇厚，麦香浓郁，与咸猪手十分相宜。餐后再来一块美味的黑森林蛋糕，香浓的巧克力味道漫溢口中，很难用文字去描述了。

新奇的土地
1724 年，哥德巴赫回到了故乡哥尼斯堡，又见到亲人和朋友， 自然是十分的高兴。空闲时到普雷格尔河畔走走，呼吸清新的空气，看看熟悉的景色，很快就从旅途的疲惫中恢复过来了。

此时的哥德巴赫已经 34 岁，过了而立之年，该看的人都看了，该见的世面也见过了，是到好好规划一下未来的时候了。事也凑巧，就在哥德巴赫回家后不久，正好有两位学者路过哥尼斯堡，他们是去圣彼得堡参与圣彼得堡科学院筹建工作的。在与他们的言谈中，哥德巴赫了解到一些基本情况，感觉正对心思。再说他从未去过俄罗斯，那里对他来讲是一个新奇的地方。于是，哥德巴赫精心准备了一份学识证明人名单，在第二年圣彼得堡科学院正式成立之后，就将申请材料 寄了过去。

彼得大帝几次听取莱布尼茨的建议之后，终于在 1724 年 1 月颁布谕旨，决定成立圣彼得堡科学院。彼得大帝拟定了科学院章程，其中强调，科学院的理论研究应对与国家实际利益密切相关的问题做出贡献。章程中的重要一条是，邀请国外的一些知名学者到科学院工作，以带动俄罗斯科学的发 展。彼得大帝于 1725 年 2 月逝世，圣彼得堡科学院的正式建立是由他的妻子、继任沙皇叶卡捷琳娜一世完成的。

“沙皇”是俄国皇帝的称谓，俄语中的“沙”是拉丁语“凯 撒”的转音，“沙皇”的中文译名是采取一半音译、一半意 译的方式。

彼得一世（1672 -1725）是俄 国罗曼诺夫王朝的第四代沙皇，被公认为是俄国历史上最 杰出的皇帝。他一生励精图治，锐意改革，把俄国从落后 的封建国家变成了欧洲的一个强国。1721 年，在俄国打败北方强国瑞典之后，俄国枢密院授予彼得一世“全俄罗斯皇帝”和“祖国之父”称号，后 世尊称他为彼得大帝。

彼得大帝（Peter the Great，1682-1725 在位）身高 2.05 米，仪表非凡，精力充沛。他除了在政治和军事方面极有天赋之 外，还喜欢做木工、车工等手艺活儿，而且相当专业。但彼得更喜欢的是航海和造船，为此在 1697-1698 年间，他专门 组织了一个约 250 人的大考察团，到荷兰和英国学习。彼得隐姓埋名，混在考察团中，对外身份是“炮手米哈伊洛夫”。在荷兰期间，彼得和同伴们在专家的指导下，成功制成一艘三桅巡洋舰。在彼得的毕业证书上有这样的评语：米哈伊洛夫聪明勤奋，已经学会了造船专家的各项业务。到了英国后，彼得除了学习造船外，还参观了牛津大学、格林威治天文台和造币厂等。彼得大帝的这次出行，对他日后制定各项政策有很大的影响。

俄国大诗人普希金这样评述彼得大帝：他“时而是学者，时而是英雄，时而是航海家，时而是木匠”。不仅如此，彼得还身体力行，努力学习西欧的生活方式，革除俄罗斯的传统陋习。例如，他明文规定，要用德国或法国式服装，代替俄罗斯传统不灵便的服装；他亲手剪掉了一些贵族的胡须，并 对蓄胡者课以重税；他经常举办法国式的大舞会，亲自做示范表演；他还指示编写《青年守则》，用以教导贵族子弟的行为规范。经过几十年的教化，俄国上流社会的礼仪风范就与西欧没什么差别了。

彼得大帝的改革，也遇到了很大的阻力，有时充满了血雨腥风。就在他随考察团出国期间，国内发生了近卫军兵变，彼得立即匆匆赶回，镇压了兵变。俄国著名画家苏里科夫，在他的历史画“近卫军临刑的早晨”里反映了这一事件。画中的背景是莫斯科克里姆林宫外墙和瓦西里大教堂的圆屋顶，近景挤满杂乱的人群，是悲哀的近卫军和痛哭的家属，远处身穿海蓝色军装的彼得大帝骑在马上，他的背后是森严的行刑队和一排绞刑架。画面的气氛相当凝重，充满悲剧色彩。

彼得大帝的儿子阿列克谢也反对改革，还企图举兵篡位，被 彼得送进监狱，死在那里。另外，4 岁的王储也早早夭折。彼得因而忧郁成疾，于 1725 年 2 月去世，死时不到 53 岁。

继任女沙皇叶卡捷琳娜一世（1684-1727）和历史上的叶卡 捷琳娜大帝不是一个人，她的本名叫玛尔塔。玛尔塔是农夫的女儿，嫁给了一个瑞典骑兵，在俄国与瑞典的战争中被抓，后来被送给了彼得的重臣缅希科夫。彼得在缅希科夫家里遇到玛尔塔，两人一见倾心，结下了不解之缘。玛尔塔相貌出 众，妩媚动人，而且温柔有礼，因而俘获了彼得的心。

叶卡捷琳娜一世（1725-1727 在位）文化水平不高，执政能力有限，朝廷大事基本上交给她的老东家缅希科夫打理。虽然叶卡捷琳娜一世政绩平平，但她对于执行彼得大帝的遗愿确是全心全意的，圣彼得堡科学院的正式建立是她政治生涯中最光辉的一笔。圣彼得堡科学院是苏联科学院和俄罗斯科学院的前身，它的建立开启了俄罗斯近 300 年的科学传统，意义非常深远。

哥德巴赫向圣彼得堡科学院递 交申请之后，小费了一点周折， 不久便被聘为科学院的数学教 授和记录秘书。1725 年，哥德巴赫踏上俄罗斯这片新奇的 土地，从此他的命运就和俄罗 斯紧密地联系在一起了。
哥德巴赫当时的年薪为 600 卢布，合月薪 50 卢布。上图是1733 年安娜女沙皇时期的 1 卢布银币，正面是女皇头像，反面是俄罗斯国徽双头鹰图案，银币重 25.6 克，这和中华民国初期 1 银元的分量差不多，叶卡捷琳娜一世时期的卢布可能大致相同。哥德巴赫到俄国后，生活应该是比较宽裕的，在学术研究之余，还做点行政工作。

在牛顿和莱布尼茨发明了微积分之后，伯努利家族和欧拉等 一些数学家又进一步推动微积分理论和技巧的发展，从中产生出了像无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何和变分法等一些重要的数学分支，这些分支合起来，形成一个被称为“分析”的数学研究领域，这个领域与几何、代数等领域一起，构成了理论数学的核心部分。对于当时正在蓬勃 发展的这些数学分支，哥德巴赫都很关注和感兴趣，他自己也写过若干篇关于无穷级数和微分方程的论文，并在圣彼得堡科学院宣读。虽然这些论文有一定水平，但确实没有传世价值，后来也就被人们遗忘了。

圣彼得堡（Saint Petersburg）是彼得大帝于 1703 年下令修 建的，它的名字来源于耶稣的弟子圣徒彼得，1924 年改名 为列宁格勒，1991 年苏联解体后，经市民投票，恢复了圣彼得堡的原名。

圣彼得堡位于波罗的海芬兰湾的东岸，涅瓦河的河口，当 初这里只是一片沼泽，彼得大帝先在这里建军事要塞，后扩建为城市。1712 年，彼得大帝将首都从莫斯科迁到圣 彼得堡。迁都的目的，是为 了更顺利地推行他的改革政 策，也是为俄国争取出海口，沟通与西欧的海上联系。当 时，圣彼得堡紧挨着瑞典的 领土（如今这块地方属于芬 兰），瑞典人经过 1704 年和1705 年两次失败的进攻之后，未再试图夺取圣彼得堡。
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